导数、偏导数、梯度-白红宇

导数、偏导数、梯度

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发布时间：2019-06-21

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求导公式：

$\quad (C为常数)$

$(xn)′=nxn−1{(x^n)}' = n x^{n-1}$

$(ex)′=ex{(e^x)}' = e^x$

$(ax)′=ln⁡(a)ax{(a^x)}' = \ln(a)a^x$

$(ln⁡(x))′=1x{(\ln(x))}' = \dfrac 1 x$

$(log⁡a(x))′=1ln⁡(a)x{(\log_a(x))}' = \dfrac 1 {\ln(a)x}$

$(sin⁡x)′=cos⁡x{(\sin x)}' = \cos x$

$(cos⁡x)′=−sin⁡x{(\cos x)}' = -\sin x$

$(tan⁡x)′=1cos⁡2x{(\tan x)}' =\dfrac 1 {\cos ^2 x}$

$(cot⁡x)′=−1sin⁡2x{(\cot x)}' =-\dfrac 1 {\sin ^2 x}$

求导法则：

$(C f (x))^{'} = C f^{'} (x)$

$(a f (x) + b g (x))^{'} = a f^{'} (x) + b g^{'} (x)$

$(f (x) g (x))^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

$(f (x) g (x) h (x))^{'} = f^{'} (x) g (x) h (x) + f (x) g^{'} (x) h (x) + f (x) g (x) h^{'} (x)$

$(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)(g(x))2{\left (\dfrac {f(x)} {g(x)} \right )}' = \dfrac {f'(x)g(x) - f(x) g'(x)} {(g(x))^2}$

链式法则：

牛顿记法： $(f [g (x)])^{'} = f^{'} [g (x)] g^{'} (x)$

或用莱布尼茨记法：

df[g(x)]dx=df[g(x)]d[g(x)]dg(x)dx\dfrac {\rm {d f[g(x)]} } {\rm {dx}} = \dfrac {\rm {d f[g(x)]} } {\rm {d [g(x)]}} \dfrac {\rm {dg(x)} } {\rm {dx}}

牛顿记法中，

f^{'} (t)

表示的是关于

t

的导数，而

(f)^{'}

表示的是关于

x

的导数。莱布尼茨记法中分号下面

dfdt\dfrac {\rm {df}} {\rm {dt}}

表示的就是关于

t

的导数

偏导数：

如果是多变量函数，如 $f(x,y)=by^2+axy+cx+d$ （几何上对应三维空间下的一个曲面），我们可以取 $x=x_0$ （几何上对应三维空间下的一个平面）代入，就会得到一个单变量函数： $f_{x_0}( y)=by^2+ax_0y+cx_0+d$ （几何上对应位于 $x=x_0$ 平面上的一条曲线，实际就是曲面和平面的相交线）。对这个新函数 $f_{x_0}$ ，我们可以求其关于y的导函数： $(fx0(y))′=2by+ax0(f_{x_0}(y))' = 2by + ax_0$ ，此时的导数相当于曲面 $f$ 在 $x_0$ 处的 $y$ 方向上的变化率。

$f$ 对于任意 $x$ 值，都有一个单变量函数相对应（想象用所有垂直与x轴的平面与曲面相交）。这些单变量函数关于 $y$ 的导函数的形式，都跟 $f$ 在 $x=x_0$ 处的曲线 $f_{x_0}$ ，关于 $y$ 的导函数的形式一样（只不过把式中的 $x_0$ 值换为其他值）： $(fx(y))′=2by+ax(f_{x}(y))' = 2by + ax$ 。我们称其为 $f$ 关于 $y$ 的偏导数： $∂f(x,y)∂y\dfrac {\partial {f(x,y)}} {\partial y}$ 。反映了曲面在 $y$ 方向上的变化率。

推广到更多变量的函数，用一个超平面去和其相交，也能得到一个单变量函数。这个单变量函数的导数就是其在此单变量方向上的变化率。所以要求函数关于一个变量的偏导数，只需要将其他变量看作常数，如 $f(x,y)=by^2+axy+cx+d$ 求 $f$ 关于 $y$ 的偏导数就是把 $x$ 当作常量看待对其求导： $∂f(x,y)∂y=2by+ax\dfrac {\partial {f(x,y)}} {\partial y} = 2by + ax$

梯度：

一个函数，如： $f (x, y)$ ，其在点 $(x, y)$ 上的关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数组成的向量 $[∂f∂x,∂f∂y]\left [\dfrac {\partial f} {\partial x}, \dfrac {\partial f} {\partial y} \right ]$ ，就是 $f$ 在点 $(x, y)$ 的梯度。

梯度是一个向量值函数，向量值函数的值域为一个线性空间或线性空间的子集，是一个标量点到向量的映射，记作：

∇f\nabla f

。

标量值函数 $f$ 在点 $a$ 的梯度记为 $∇f(a)\nabla f(a)$ 。

梯度的含义：假设 $f (x, y)$ 是三维空间中一个曲面，则 $f$ 在点 $a$ 的梯度是一个二维向量。点 $a$ 沿梯度方向增加（自变量）值，函数值增长是最快的。而且梯度大小（向量长度）代表自变量增加一个单位向量，函数值的最大变化量。

向量场是把空间中的每一点指派到一个向量的映射，所以梯度就是一个向量场。

线性空间：线性空间里的元素有两种运算（加法和数乘），而且经过这两种运算（就是线性变换）得到的元素还在同一个线性空间中（所谓对这两种运算封闭）。

线性空间也叫向量空间。

凸函数：

一个函数是凸的当且仅当其上境图（在函数图像上方的点集）为一个凸集

凸集就是集合内任意两点的连线上的点也都属于此集合。

（在国内数学教程，凸函数的概念有时被叫做凹函数）

转载于:https://www.cnblogs.com/xuejianbest/p/10285203.html

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